27．1.1 圆的基本元素
知识点 1 圆的定义 1．下面关于圆的叙述正确的是( ) A．圆是一个面 B．圆是一条封闭的曲线 C．圆是由圆心唯一确定的 D．圆是到定点的距离等于或小于定长的点的集合 2．以已知点O为圆心，线段a的长为半径作圆，可以作( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．如图27－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是________． 图27－1－1 知识点 2 圆的基本元素 4．如图27－1－2，AB是圆O的直径，则圆中的弦有______条，分别是________________________________________________________________________， 劣弧有________条，分别是________________． 图27－1－2 5．圆内最长的弦的长为30 cm，则圆的半径是________________________________________________________________________． 6．如图27－1－3，⊙O的半径为2019，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________． 图27－1－3 7．下列说法中，正确的是( ) A．过圆心的线段是直径 B．小于半圆的弧是优弧 C．弦是直径 D．半圆是弧 8．图27－1－4中的∠1是圆心角的是( ) 图27－1－4 9．如图27－1－5所示，MN为⊙O的弦，∠M＝40°，则∠N等于( ) 图27－1－5 A．40° B．60° C．100° D．120° 10．如图27－1－6所示，下列说法中正确的是( )
图27－1－6 A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦 B．线段AC经过圆心O，所以线段AC是直径 C．弦AC把⊙O分成了两条不相等的弧 D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧 11．如图27－1－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 图27－1－7 12．如图27－1－8，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC. 图27－1－8 13．如图27－1－9所示，AB是⊙O的直径，小芳给出以下判断：①是优弧；
②是劣弧；
③图中有四条弦；
④弦AC所对的弧是劣弧；
⑤AB＝2OB.其中正确的是( ) 图27－1－9 A．①⑤ B．③④ C．④⑤ D．②⑤ 14．如图27－1－10，AB是⊙O的直径，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连结AC，则∠DAC等于( ) 图27－1－10 A．15° B．30° C．45° D．60° 15．如图27－1－11，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，与直线l1，l2分别交于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的度数为( ) 图27－1－11 A．36° B．54° C．72° D．73° 16．2017·义乌中考模拟有一半圆片(其中圆心角∠AED＝52°)在平面直角坐标系中，按图27－1－12所示位置放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O的距离最大，则n的值为( ) 图27－1－12 A．64 B．52 C．38 D．26 17．如图27－1－13，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＋∠C＝180°，∠COD＝∠A，则∠AOB＝________．
图27－1－13 18．教材练习第1题变式设AB＝2 cm，作出满足下列要求的图形：
(1)到点A的距离等于1.5 cm，且到点B的距离等于1 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A的距离小于1.5 cm，且到点B的距离小于1 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离大于1.5 cm，且到点B的距离小于1 cm的所有点组成的图形． 19．如图27－1－14，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点(不与点O重合)，直线PC与⊙O相交于点Q，点P在直线AB上的什么位置时，QP＝QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数． 图27－1－14 详解详析 1．B [解析] 圆是一条封闭的曲线，它是由圆心和半径确定的，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，故A，C，D均错误． 2．A 3．(0，－1) 4．2 CD，AB 5 ，，，， 5．15 cm [解析] 圆内最长的弦是直径． 6．2019 [解析] 因为OA＝OB，∠AOB＝60°，所以△AOB为等边三角形，所以AB＝2019. 7．D 8．D [解析] 根据“圆心角的顶点是圆心”，判断出D选项是正确的． 9．A [解析] ∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝40°. 故选A. 10．B [解析] 因为弦的两个端点都在圆上，所以线段CD不是弦，所以A错误；
经过圆心的弦是圆的直径，所以B正确；
直径把圆分成两个半圆，它们相等，所以C错误；
大于半圆周的弧称为优弧，所以D错误． 11．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠B＝50°. ∵CB＝CD，∴∠BDC＝∠B＝50°. ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，∴∠ACD＝10°. 12．证明：如图，连结OA，OC. ∵OA＝OB，OB＝OC， ∴∠ABO＝∠BAO， ∠CBO＝∠BCO. ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAO＝∠BCO.又∵BO＝BO， ∴△OAB≌△OCB， ∴BA＝BC. 13．D [解析] ①弧ACB是半圆；
③图中有三条弦：AC，AB，CB；
④弦AC所对的弧有两条，分别是劣弧和优弧，所以正确的是②⑤. 14．B [解析] ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO.∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°.故选B. 15．C 16．D [解析] 连结OE，OD，如图． 当点O，E，D共线时，半圆片上的点D与原点O的距离最大． 因为EA＝EB， 所以EA＝EO＝EB， 所以∠EAO＝∠EOA， 则∠AED＝∠EAO＋∠EOA， 所以∠EAO＝∠AED＝26°，所以n＝26. 17．108° [解析] 设∠COD＝∠A＝x°，则∠AOB＝(180－2x)°，∠C＝∠ODC＝()°. ∵∠AOB＋∠C＝180°，∴180－2x＋＝180，解得x＝36，∴∠AOB＝(180－2x)°＝108°.故答案为108°. 18．[解析] (1)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的交点为所求；
(2)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的公共部分为所求(边界除外)；
(3)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则⊙B中除掉它们的公共部分为所求(边界除外)． 解：(1)如图①，点P和点Q为所求． (2)如图②，阴影部分为所求(不含边界)． (3)如图③，阴影部分为所求(不含边界)． 19．解：(1)当点P在线段OA上时(如图①)， 在△QOC中，CO＝QO，∴∠OQC＝∠OCQ. 在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO. 又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°， ∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°. (2)当点P在线段OA的延长线上时(如图②)， ∵CO＝QO，∴∠OQP＝①. ∵QO＝QP， ∴∠OPQ＝②. 在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°③， 把①②代入③，得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°， ∴∠OCP＝100°. (3)当点P在线段OB的延长线上时(如图③)， ∵CO＝QO， ∴∠OCP＝∠OQC. ∵QO＝QP， ∴∠QPO＝∠POQ， ∴2∠QPO＝∠OCP＝∠OQC. ∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＋2∠QPO＝30°， ∴∠QPO＝10°， ∴∠OCP＝2∠QPO＝20°. (4)当点P在线段OB上时，QP＜QO，此时符合要求的点P不存在． 综上可知，这样的点P共有3个，当点P在线段OA上时，∠OCP＝40°；
当点P在线段OA的延长线上时，∠OCP＝100°；
当点P在线段OB的延长线上时，∠OCP＝20°.
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