上海初一数学绝对值难题解析 灵活应用绝对值的基本性质：
（1）|a|≥0；
（2）|ab|＝|a|·|b|；
（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；
（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法：
（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）
（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：
（1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、 设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
4、 已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；
（2）b可能是负数；
哪个是正确的？ 第二类：考察对绝对值基本性质的运用 5、 已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？ 6、设a、b同时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1；
(2) |a－4|＝0；
那么ab等于多少？ 7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。
8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？ 9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25， 求|b－a|－|d－c|的值？ 第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论 以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
10.根据以上材料解决下列问题：
（1） 化简：2|x－2|－|x＋4| （2） 求|x－1|－4|x＋1|的最大值。
11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？ 答案 1(1) 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a (2) 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2.解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3. 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4. 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0；
当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b， 解得a＝0，这时b＞0；
综上所述，（1）是正确的。
5. 解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0 ∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0 又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0 ∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝2012 6．解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0 ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0 ∴ （1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b ∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0，a＝4 ∵ a＝2b ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝8 7. 解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0 ∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0 ∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0 ∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b 8. 解：∵a，b都是非负整数 ∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数 ∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1 分类讨论：
当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者 a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；
当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；
综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。
9. 分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。
解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y| ∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25 ∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16 ∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7 10（1）解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：
当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8 当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x 当x＞2时，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8 （2）2） 使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比 较，从中选出最大值。
令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：
当x≤-1时，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；
当-1＜x≤1时，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此时无最大值；
当x＞1时，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此时无最大值。
综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。
11. 解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。
即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4 令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：
当x≤1/3时，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；
当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此时恒为常数7；
当x＞4/5时，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此时也不是恒值。
综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。
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